Das Unternehmen Taxi Greve wurde am 15. Juli 1993 von Klaus Greve mit einem Kleinbus-8-Sitzer und zwei Taxis von Eduard Werner übernommen. Zwei Jahre später wurde Albrecht Brinkmann als erster Mitarbeiter fest eingestellt, nachdem Hans-Peter Wahle sowie einige Aushilfen für das Unternehmen tätig waren. 1996 wurde Andre Lange als zweiter Mitarbeiter fest angestellt. Der erste Firmensitz war damals das Eigenheim des heutigen Inhabers Klaus Greve. Im Jahr 1998 folgte der Umzug in die Straße am Hagenblech in das ehemalige Lager der Firma Getränke Becker. Ab dem Jahr 2000 zog das Unternehmen für weitere 11 Jahre in die Poststraße 13. 2012 wurde durch den Zuwachs einiger Fahrzeuge mehr Platz benötigt. Somit folgte der Umzug in die Räumlichkeiten in das Winterberger Industriegebiet, Remmeswiese 1 – dem heutigen Firmensitz von Taxi Greve in Winterberg.
Gut ausgestattet mit weitaus größeren Büroräumen, Fahrzeughallen, Werkstatt und Parkplätzen bleiben bei Taxi Greve kaum Wünsche offen. Das Unternehmen Greve führt seit 2012 außerdem mit Omnibussen den Linienverkehr des Regionalverkehrs Ruhr-Lippe (RLG) sowie der DB Westfalenbus durch. In einer eigenen Werkstatt mit einem für den Fuhrpark zuständigen KFZ-Mechatroniker werden die aktuell 34 Fahrzeuge gewartet. Zurzeit sind bei Taxi Greve in Winterberg 26 fest angestellte Mitarbeiter und 41 Aushilfen für das Unternehmen tätig.